和是偶數(shù)的可能性小——不對嗎？

湖北省荊門市鐘祥市郢中街辦莫愁小學  周俊玲

評析 湖北省荊門市小學數(shù)學名師工作室主持人  周齊才

【案例】  

片段一： 

     “有分別寫著1～20的20張卡片，任意抽兩張，將卡片上的數(shù)相加，和是雙數(shù)的可能性小。（   ）”這是人教版小學數(shù)學五年級上冊《長江作業(yè)本》同步練習冊第38頁第四單元《可能性》第1課時中的一道判斷題。

       前段時間，我在教學《可能性》這個知識時，遇到了這道題。起初，很多學生和同事都一致認為和是偶數(shù)的可能性大，這個題判“×”。理由是：奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)。兩數(shù)相加的和有3種情況，而偶數(shù)占2種，故判這道題為×。乍一聽好像有道理，但仔細一推敲卻不認同，我覺得此題并不是他們說的這樣簡單，應該先根據(jù)“組合”，看有多少個和，再看這些和中奇數(shù)和偶數(shù)分別有多少個。順著這個思路，我一一列舉后發(fā)現(xiàn)：兩數(shù)相加的和有190個，偶數(shù)占90個，奇數(shù)占100個。和是偶數(shù)的可能性小，所以應判“P”。

       當我和身邊的同事交流自己的觀點時，有的老師說：這個題哪有這么復雜，這么多數(shù)字，舉例太麻煩了，你想多了。有的老師說：這是《長江作業(yè)本》中的題，掃碼得知答案是×，搜題軟件也說是×，我們應該相信答案；還有的老師說：一個判斷題而已，你也太較真了。

面對同事的反駁和不屑，我再次陷入沉思：“如果真那樣分析的話，豈不是所有這類題的結(jié)論都是和為偶數(shù)的可能性大？” 

       如果覺得這個題數(shù)字多，太復雜，那我們就先從簡單的入手：：從寫有1、2、3、4的四張卡片中，任意抽兩張，將卡片上的數(shù)字相加，和是偶數(shù)的可能性（   ）。運用組合的知識，兩數(shù)相加，可以得到：1+2=3、1+3=4、1+4=5、2+3=5、2+4=6、、3+4=7，和是偶數(shù)的有2個，和是奇數(shù)的有4個，和是偶數(shù)的可能性小。其實仔細研究，我們會發(fā)現(xiàn)：2+4=6運用的是“偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)”，1+3=4運用的是“奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)”，剩余4個奇數(shù)的和是運用“奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”得到的。會不會是湊巧？我又試了幾組：1、2、3、4、5、6和2、3、7、10、13、14。無論是運用組合知識，通過一一列舉，還是根據(jù)奇偶相加比較，最終都是和為偶數(shù)的可能性小。

       再回到作業(yè)中的那道題，這道題應該與教材第50頁“綜合與實踐”課“擲一擲”中的擲骰子的教學思路如出一轍。雖然從理論上分析兩數(shù)相加的和可以通過“奇數(shù)+奇數(shù)、偶數(shù)+偶數(shù)、奇數(shù)+偶數(shù)”這3種途徑得到，但最終和只有奇數(shù)、偶數(shù)2種情況。其中：奇數(shù)+奇數(shù)時，可以得到45個偶數(shù)的和；偶數(shù)+偶數(shù)時，也可以得到45個偶數(shù)的和；奇數(shù)+偶數(shù)時，能得到100個奇數(shù)的和。當然我們也可以用列表的方法把這些和一一排列出來（具體過程附后）。這樣一來，兩數(shù)相加的和就有190個，偶數(shù)占90個，奇數(shù)占100個。確實和是偶數(shù)的可能性小。 

      反復驗證后，最終，我得出一個結(jié)論：無論是數(shù)字少，還是數(shù)字多，其實和都只有奇數(shù)、偶數(shù)2種，都可以通過奇數(shù)+偶數(shù)、偶數(shù)+偶數(shù)、奇數(shù)+奇數(shù)這3種途徑得到，但是要比較和的奇偶性，必須看所有和中奇數(shù)與偶數(shù)分別有多少個。當我再次和同事探討時，我詳細地講解了自己的思路，他們又感覺是這個理，不再反駁。

      一一列舉，分析：

       和是奇數(shù)：100個                     和是偶數(shù)：90個（可能性?。?/p>

        分類列舉，分析：

分析：

     1.   表中把1-20這20個自然數(shù)分成10個奇數(shù)，10個偶數(shù)。根據(jù)“奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”可知：有10×10=100個奇數(shù)的和。

     2.   從2、4、6、8、10、12、14、16、18、20這10個偶數(shù)中任意取兩個數(shù)相加，根據(jù)“偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)”可知：共有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45個偶數(shù)的和。

    3.   從1、3、5、7、9、11、13、15、17、19這10個奇數(shù)中任意取兩個數(shù)相加，根據(jù)“奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)”可知：也有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45個偶數(shù)的和。

這樣，一共有45×2=90個偶數(shù)的和。

故：和是偶數(shù)的可能性小。

片段二：

      有了清晰的思路，接下來在給學生講解這道題時，一開始我沒有急著否定他們的觀點，而是先給了另一組數(shù)據(jù)“1、2、3、4”，引導他們討論交流，思維活躍的同學迅速有了想法：1+2=3、1+3=4、1+4=5、2+3=5、2+4=6、3+4=7，和是偶數(shù)的有2個，和是奇數(shù)的有4個，和是偶數(shù)的可能性小。思路打開了，“同學們能不能自己試著寫一組數(shù)字，小組內(nèi)交流一下？”順勢利導，我讓學生自己嘗試研究。

   很快，大多數(shù)同學從原來的思維胡同跳出來了，“這不就是利用組合的知識，先把兩數(shù)相加的和有序地列舉出來嗎？”有幾個同學興奮地說到?！罢f得很好！如果把這4張卡片改為1～20張卡片呢？”我看到有的同學立馬按照“組合”的方法，耐心細致地在寫著兩數(shù)相加的算式，幾分鐘后，“周老師，這也太多了，我都寫了好多了還沒寫完。”“是的，太多了?！庇行┎荒蜔┑耐瑢W叫嚷著?！叭绻衙恳粋€算式都完整地寫出來，確實很麻煩，借助表格可以大大提高效率，大家再想想?！薄芭?，我們可以像擲骰子那樣用表格來一一列舉?！薄皩W以致用，老師給你們點贊！”接下來，我給每一個小組發(fā)了一張事先準備好的表格，讓他們小組討論，共同完成表格……

  “利用表格雖然稍微快一點，但同學們不覺得這樣也有些麻煩嗎？這可是只有20張卡片？如果再多些卡片呢？除了一一列舉，到底還有沒有藏著什么規(guī)律呢？大家想不想繼續(xù)探究一下？”“想！”“那咱們還是先回到簡單的1-4張卡片上來?！苯酉聛?，我引導學生把4張卡片分成1和3兩個奇數(shù)、2和4兩個偶數(shù)，再根據(jù)“奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”得到奇數(shù)的和有2×2=4個，再根據(jù)“偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)”、“奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)”得到偶數(shù)的和共有2個，得出和是偶數(shù)的可能性小。“1-6張卡片呢？”同學們迅速自己試著分類進行分析?！爸芾蠋?，我發(fā)現(xiàn)把這6個數(shù)字分成3個奇數(shù)，3個偶數(shù)后，直接用3×3就可以知道有9個奇數(shù)的和；而從1、3、5這3個奇數(shù)中任選兩個數(shù)字相加時，可以得到2+1=3個偶數(shù)的和；從2、4、6這3個偶數(shù)中任選兩個數(shù)字相加時，也可以得到2+1=3個偶數(shù)的和。一共有6個偶數(shù)的和，和是偶數(shù)的可能性小?！薄拔乙彩沁@樣想的，我覺得這樣分類來計算很簡單?！薄巴瑢W們的發(fā)現(xiàn)非常有價值！當我們遇到數(shù)字比較繁多的數(shù)學問題時，可以從簡單的數(shù)字入手分析，找尋其中的規(guī)律，總結(jié)解題的方法，再利用規(guī)律舉一反三。下面我們就利用這個規(guī)律一起來分析一下1~20張卡片中的奧秘?！薄?/p>

  “如果是1~100張卡片、1~n張卡片呢？同學們想不想一探究竟？”課后，有興趣的同學快速圍到我身邊，和我交流自己的想法。“看來你們這節(jié)課的收獲不小啊，老師十分期待你們的探究結(jié)果喲！”看到孩子們興趣盎然的樣子，一絲欣慰之情在我的心底油然而生，我很高興：有一顆“興趣”的種子在孩子們的頭腦中萌芽了！

片段三：

     2021年11月4日，我參加了湖北省“校對縣”精準幫扶培訓活動，有幸和專家團隊的老師零距離交流。交流會上，我大膽地向周齊才校長請教了這個問題，“看來你是一個功底很深的數(shù)學教師，堅持自己的觀點，‘不唯書、不唯上、只唯實’，我同意你的觀點，這個題的確和擲骰子的算理類似。這是一個非常好的教學案例，我建議你把這個案例寫出來?！边€沒等我問完，周校長已迫不及待地答道。在場參訓的其他老師也提出了和同事開始一樣的質(zhì)疑，他認為：運用高中數(shù)學里的組合知識，和是偶數(shù)的可能性小，而小學階段應該按照奇偶相加來理解，和是偶數(shù)的可能性大。“同一道判斷題，怎么會有兩種相反的答案呢？”周校長反問道。

      第一次這樣面對面向?qū)＜艺埥?，能得到周校長的鼓勵和肯定，內(nèi)心一絲小竊喜，好似得到了權(quán)威機構(gòu)認證一樣，埋在我心中的疑云徹底消散了，也讓我更加堅定了自己最初的想法。

【反思】

     1、教師要勇于提出質(zhì)疑。

     數(shù)學是一門嚴謹?shù)膶W科，容不得半點含糊。

     在教學中，如果遇到這種有爭議的數(shù)學問題時，一定要大膽質(zhì)疑，不要一味相信作業(yè)中的答案，也不要被他人左右自己的思路。還要認真思考，反復研究，通過舉例或推理驗證等方法得出正確結(jié)論。

      正如周校長所說：大多數(shù)老師遇到這樣的問題，也許就簡單略過了，能夠執(zhí)著鉆研的最后可能就成了數(shù)學家。作為一名普通的數(shù)學教師，即便不能成為數(shù)學家，我們也要有自己的思想，努力用自己的思想去引領(lǐng)學生“思”、“辨”、“理”，和學生一起探討數(shù)學的奧秘。。

    2、教師要靈活運用數(shù)學方法。

    猜想、轉(zhuǎn)化、推理、枚舉、化繁為簡等都是學習數(shù)學的好方法。當我們遇到數(shù)據(jù)較大或較多的數(shù)學問題時，不妨先從小數(shù)據(jù)入手分析。這次培訓學習，袁志剛老師和周金鳳老師執(zhí)教的《植樹問題》一課，都把例題中的數(shù)字由大變小，效果甚好！     

    教師不僅要靈活運用數(shù)學方法，還要善于運用數(shù)學思想教學生學習數(shù)學。當一個問題比較復雜時，“回到最簡單的情形”，這是華羅庚教授所倡導的！這樣更能看清問題的本質(zhì)。正是基于這種數(shù)學思想，上面片段二中，我也是先引導學生從小數(shù)據(jù)著手分析，待學生有了初步感知后，我又大膽放手讓他們自己試著寫一組數(shù)字研究，再引導學生由簡到繁找尋這類問題蘊含的規(guī)律，最后拓展提升：“1~100張卡片、1~n張卡片呢？”由始至終，充分激發(fā)學生的學習興趣和探究欲望，留給學生充足的探究空間和時間，讓他們親歷知識的形成過程，更好地掌握數(shù)學技能，學習數(shù)學，體驗成功的樂趣。又何樂而不為呢！

    3、教師要成為終身學習者。              

習近平總書記在慶祝第30個教師節(jié)到來時，勉勵全國廣大教師“做好老師，要有扎實學識”。扎實的知識功底、過硬的教學能力、勤勉的教學態(tài)度、科學的教學方法是老師的基本素質(zhì)，其中知識是根本基礎(chǔ)。

教師作為傳道、授業(yè)、解惑者，要想給學生一碗水，自己就要有一桶水；要做一名新時代的好老師，更要有一潭活水，要為學生“引來水源”，教會孩子們學習的方法和思想。陶行知先生說：“出世便是破蒙，進棺材才算畢業(yè)?！边@就要求老師始終處于學習狀態(tài)，站在知識發(fā)展的前沿，刻苦鉆研、嚴謹篤學，不斷充實、拓展、提高自己。   

     【評析】這是一個很好的教學案例，主要體現(xiàn)在：

      1.選題具有挑戰(zhàn)性。在作業(yè)中善于發(fā)現(xiàn)問題，從爭議入手，用科學方法澄清疑惑，研究的過程也具有趣味性、探究性。

      2.方法具有科學性。解決問題的方法、所涉及的知識都在學生能力所及范圍內(nèi)，即學生最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，通過問題的探究，讓學生經(jīng)歷一個知識發(fā)生、發(fā)展全過程，積累數(shù)學活動經(jīng)驗；當一個問題比較復雜時，“回到最簡單的情形” 這是華羅庚教授所倡導的！這樣更能看清問題的本質(zhì)；通過列表、分類討論等多種方法，得出結(jié)論，層層遞進，有理有據(jù)，讓學生在獲得知識的同時，也學到探究問題的方法。

     3.教師具有示范性。教師引領(lǐng)學生“不唯書、不唯上、只唯實”，是一個優(yōu)秀教師的科學精神。引導學生敢于質(zhì)疑，不迷信權(quán)威，就是創(chuàng)新意識的萌芽。

                                                 2021.11.10

周齊才：湖北省骨干教師，湖北省教學數(shù)學專業(yè)委員會理事，荊門市名師，荊門市小學數(shù)學名師工作室主持人?，F(xiàn)任荊門市石化第一小學副校長。

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