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數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，那么，要想學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)，就要深入到數(shù)學(xué)的靈魂深處。------王永春
王永春：華東師大數(shù)學(xué)系畢業(yè)，北京師大教育學(xué)碩士。人教社小學(xué)數(shù)學(xué)編輯室主任。從1991年至今一直從事小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材的研究和編寫工作。參與多套小學(xué)數(shù)學(xué)教材、教師用書、教學(xué)案例等書編寫，對小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法有深入的思考和探索。
本書《小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法》分為上下篇，上篇是對數(shù)學(xué)思想方法的系統(tǒng)闡述，下篇是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)思想方法案例解讀。
書中，提供了好多的案例，以拓展知識面、更加有利于了解和掌握思想方法，有利于中小學(xué)的銜接。有的案例是在小學(xué)知識基礎(chǔ)上的拓展和提高，有的是中學(xué)知識的簡化。下冊按照教材的順序進(jìn)行了案例解讀，便于教師查找。這是一本實踐性很強(qiáng)的書，理論方面的內(nèi)容不多，更多的實際的指導(dǎo)和點撥，特別適合年輕教師、剛上崗的教師學(xué)以致用。
那么這些數(shù)學(xué)思想如何分類？史寧中教授也在思考這個問題，史校長思考的結(jié)果——數(shù)學(xué)思想是有層次的，較高層次的基本思想有三個：抽象思想、推理思想、模型思想。他曾經(jīng)提到，抽象思想使生活中的問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，推理思想使得數(shù)學(xué)理論向前發(fā)展，模型思想使數(shù)學(xué)理論應(yīng)用到現(xiàn)實生活中去。史校長認(rèn)為就抽象的深度而言，大體上分為三個層次：簡約階段、符號階段、普適階段。讀了本書，對這三個層次有了清晰的認(rèn)識。
數(shù)學(xué)思想方法簡介
一、對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識
數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)、理性認(rèn)識。數(shù)學(xué)思想是有層次的，較高層次的基本思想有：抽象思想、推理思想、模型思想，這三個基本思想分別對數(shù)學(xué)學(xué)科的建立、發(fā)展和應(yīng)用起到了重要作用。這三個基本思想演變、派生、發(fā)展處很多其他的較低層次的數(shù)學(xué)思想。
基
本
思
想
抽象
思想
符號化思想、分類思想、集合思想、對應(yīng)思想
有限與無限思想、變中有不變思想
推理
思想
公理化思想、歸納推理、類比推理、演繹推理、
化歸思想
變換思想、數(shù)形結(jié)合思想、代換思想、逐步逼近的思想
模型
思想
簡化思想、量化思想、方程思想、函數(shù)思想、優(yōu)化思想
隨機(jī)思想、統(tǒng)計思想
審美
思想
簡練、對稱、統(tǒng)一、透過現(xiàn)象看本質(zhì)
數(shù)學(xué)方法一般是指用數(shù)學(xué)解決問題時的方式和手段。
數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法既有區(qū)別又有密切聯(lián)系。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的進(jìn)一步提煉和概括，數(shù)學(xué)思想的抽象概括程度要高一些，而數(shù)學(xué)方法的操作性更強(qiáng)一些。人們實現(xiàn)數(shù)學(xué)思想往往要靠一定的數(shù)學(xué)方法；而人們選擇數(shù)學(xué)方法又要以一定的數(shù)學(xué)思想為依據(jù)。
《課標(biāo)2011版》解讀認(rèn)為數(shù)學(xué)方法也是有層次的，基本方法有：演繹推理的方法、合情推理的方法、變量替換的方法、等價變形的方法、分類討論的方法等等。下一層次的方法有：分析法、綜合法、窮舉法、反證法、列表法、圖像法，等等。
對于數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想方法這三個概念有時很難分清楚。如，推理思想是數(shù)學(xué)中的重要思想，在數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，在此思想指導(dǎo)下，有三段論、數(shù)學(xué)歸納法和類比法、歸納法等具體的數(shù)學(xué)方法。再如，數(shù)學(xué)抽象，有專家稱為數(shù)學(xué)抽象方法，有專家稱為數(shù)學(xué)抽象思想。所以，數(shù)學(xué)思想方法的分類并不是邏輯意義上的嚴(yán)格的概念分類。
二、數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想方法
數(shù)學(xué)知識一般指數(shù)學(xué)的各個分支的具體內(nèi)容，以及相應(yīng)的概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等。
如，義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率等；高中數(shù)學(xué)往往分為代數(shù)、幾何、微積分、概率統(tǒng)計、算法等。
數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)思想方法的載體，數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)知識的進(jìn)一步提煉概括。
三、數(shù)學(xué)思想方法對于小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)意義。
1、有利于建立現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育觀、落實新課標(biāo)理念。
2011版新課標(biāo)在總體目標(biāo)中明確提出：學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能。 這一總體目標(biāo)貫穿于小學(xué)和初中，這充分說明了數(shù)學(xué)思想方法的重要性。
課標(biāo)進(jìn)一步指出：通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本生活經(jīng)驗。由過去的“雙基”首次提出“四基”的理念和目標(biāo)，也首次把數(shù)學(xué)思想作為義務(wù)教育、尤其是小學(xué)數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一，更加強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想的重要性和重視數(shù)學(xué)思想的貫徹落實，這在我國的小學(xué)數(shù)學(xué)教育發(fā)展史上，具有里程碑的意義。
數(shù)學(xué)作為培養(yǎng)人的思維能力的學(xué)科，它的地位和作用是不可替代的。數(shù)學(xué)的功能無論是技術(shù)功能還是思維功能，都不僅僅是數(shù)學(xué)知識和技能在發(fā)揮作用，更重要的是它的思想方法在發(fā)揮作用。對學(xué)生來說，獲得良好的數(shù)學(xué)教育的標(biāo)志是三維目標(biāo)的整體實現(xiàn)，尤其是“四基”的整體實現(xiàn)，體現(xiàn)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育觀和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的新內(nèi)涵，即培養(yǎng)學(xué)生逐步學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看待世界、分析和解決問題。
2、有利于提高教師專業(yè)素養(yǎng)、提高教學(xué)水平。
數(shù)學(xué)課標(biāo)把數(shù)學(xué)基本思想作為四基之一，小學(xué)數(shù)學(xué)老師會面臨更大挑戰(zhàn)。一方面是關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法的專業(yè)知識方面的欠缺，另一方面是課堂教學(xué)中應(yīng)該具備的數(shù)學(xué)思想方法的意識、經(jīng)驗、策略的不足。
小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，重視基礎(chǔ)知識和技能訓(xùn)練相當(dāng)普遍，容易“就事論事”，教什么練什么，缺少對數(shù)學(xué)思想方法的抽象概括。
例如：在教學(xué)10的認(rèn)識時，多數(shù)教師會結(jié)合計數(shù)器、點子圖、小棒等直觀教具然學(xué)生認(rèn)識到9添上1是10，然后再進(jìn)一步學(xué)習(xí)10的組成及加減法。沒有引導(dǎo)學(xué)生思考：10與前面學(xué)習(xí)的0~9這些數(shù)有什么不同？ 這里實際上隱含一個非常重要的思想方法------數(shù)學(xué)抽象，它比8、9的抽象水平更高，因為10不僅是對任何數(shù)量是10的物體的抽象，進(jìn)一步地它已經(jīng)不再用新的數(shù)字計數(shù)了，而是采用了偉大的十進(jìn)位值計數(shù)原理。 多數(shù)教師沒意識到這一點，主要原因是教材中沒有很好地體現(xiàn)這一思想。
3、有利于提高學(xué)生的思維水平、培養(yǎng)“四能”
從學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的角度來說，從特殊的知識抽象概括成一般的概念、原理，再上升到思想方法，更加有利于實現(xiàn)學(xué)習(xí)遷移。所謂舉一反三、聞一知十，也是這個道理。
例如：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)存在一個比較普遍的現(xiàn)象，就是在教師教學(xué)完新知識進(jìn)行變式練習(xí)甚至是簡單的變式練習(xí)時，有一部分學(xué)生存在困難。在一年級學(xué)習(xí)完6、7的認(rèn)識、讀寫后，要邊涂圖片邊寫6的組成。多數(shù)學(xué)生沒有有序思考，雜亂寫出。只有少數(shù)學(xué)生按順序?qū)懗鰜砹?，老師引?dǎo)學(xué)生總結(jié)后，肯定了有序思考的優(yōu)越性。再放手寫7的組成時，大部分學(xué)生都能有序思考，又快又好地完成了?？梢?，數(shù)學(xué)方法是重要的，在低年級也是可以實現(xiàn)且能夠遷移的。
傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)注重以數(shù)學(xué)思維活動和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力為核心，當(dāng)今的數(shù)學(xué)教學(xué)雖然教學(xué)目標(biāo)多元，但是培養(yǎng)思維能力仍然是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)之一，包括風(fēng)靡一時的奧數(shù)培訓(xùn)，課后數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班等，都是以訓(xùn)練思維為主要目標(biāo)。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)不但可以起到培養(yǎng)思維能力的作用，還可以調(diào)解決問題的能力。數(shù)學(xué)的三個基本思想，如抽象思想、推理思想、模型思想就已經(jīng)包括了思維能力和解決問題能力的培養(yǎng)。所以，搞好數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，有可能提高學(xué)習(xí)效率和減輕學(xué)生課外學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)。
在小學(xué)階段有意識地向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的概念、公式、法則、定律等知識的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力及思維能力，也是小學(xué)數(shù)學(xué)進(jìn)行素質(zhì)教育的真正內(nèi)涵所在。
二、數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)
（一）小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的可行性
南開大學(xué)顧沛教授說：小學(xué)生、中學(xué)生、大學(xué)生，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容雖然不同，但是通過數(shù)學(xué)課程，滲透數(shù)學(xué)思想方法，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)這一點是共同的。數(shù)學(xué)教學(xué)，很重要的是提高學(xué)生的思維品質(zhì)。數(shù)學(xué)思想方法的滲透，應(yīng)該是長期的，應(yīng)該從小學(xué)一年級開始，也完全可以從一年級開始。
小學(xué)生的抽象思維水平不斷提高。吳國宏教授認(rèn)為“一年級兒童不具有形式運(yùn)算思維能力，三年級的兒童已經(jīng)進(jìn)入形式運(yùn)算的前期，五年級兒童正式步入形式運(yùn)算階段?！边@表明，小學(xué)生逐步具備了觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括的能力和推理能力。教師面對比較抽象的、概括的、不同難度的數(shù)學(xué)思想方法，可以讓不同年級的學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)有所不同，低年級學(xué)生能夠感受、了解，中年級學(xué)生能夠體會、理解，高年級學(xué)生能夠理解、運(yùn)用。
綜上所述，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中落實數(shù)學(xué)思想方法的目標(biāo)是必要的也是可行的。需要小學(xué)數(shù)學(xué)界共同來研究數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，以及根據(jù)小學(xué)生的認(rèn)知特點和年齡特征探索數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)目標(biāo)層次，積累教學(xué)經(jīng)驗，使得數(shù)學(xué)思想方法的目標(biāo)不再是附屬品一樣永遠(yuǎn)停留滲透的層面上，而是像雙基一樣，真正成為課堂教學(xué)的常態(tài)目標(biāo)，成為學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)不可分割的一部分。
（二）數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)
1、重視思想方法目標(biāo)的落實
廣大教師在備課撰寫教學(xué)計劃時，把數(shù)學(xué)思想方法作為與知識技能同等地位的目標(biāo)呈現(xiàn)出來，而不是可有可無或者總是滲透，并利用這些動詞進(jìn)行描述和評價，使數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)目標(biāo)落到實處。
一類是描述結(jié)果目標(biāo)的：了解、理解、掌握、運(yùn)用
一類是描述過程目標(biāo)的：經(jīng)歷、體驗、探索等。
2、在知識形成過程中體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法
當(dāng)前教學(xué)中（特別是中學(xué)）有一個現(xiàn)象：精講多練。就是急于把概念、公式、法則、定理等知識傳授給學(xué)生，然后按照考試的要求進(jìn)行技能訓(xùn)練，即輕視知識的形成過程，重視技能的訓(xùn)練。這種教學(xué)模式表面上對應(yīng)試有效果，實際上既浪費(fèi)時間、又沒有真正培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、思想方法和學(xué)習(xí)興趣，導(dǎo)致很多學(xué)生害怕數(shù)學(xué)。
2011版課標(biāo)重視過程目標(biāo)。讓學(xué)生有機(jī)會獲得直接經(jīng)驗，注重對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的評價，教材編寫要體現(xiàn)知識的形成和應(yīng)用過程。因此，教師在教學(xué)過程中要一如既往地重視知識尤其是概念的形成過程，因為概念不僅是基礎(chǔ)知識，也是抽象思維的基礎(chǔ)和基本形式。良好的知識結(jié)構(gòu)是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)，只有了解了概念與概念之間的關(guān)系，才能很好地利用分類的思方法、模型思想和推理思想等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決問題。
現(xiàn)行教材對知識的呈現(xiàn)體現(xiàn)了他的發(fā)生發(fā)展過程，有利于教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程。
如：除法是重要的而且難理解的概念。教材為學(xué)生經(jīng)歷除法概念作了很多鋪墊。情景圖。
例1：把6塊糖分成3份，理解平均分。
例2、3體驗平均分有兩種實際情況及平均分的過程、方法與結(jié)果。例4，把12個竹筍平均分成4盤引出除法、除號的概念。例5，把20個竹筍每4個裝一盤，引出被除數(shù)、除數(shù)、商的概念。整個教學(xué)過程非常、豐富，有觀察、操作、演示、語言表達(dá)、畫、書寫、符號特征、思考等多種活動，學(xué)生在已有的生活經(jīng)驗和積累的活動經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，逐步抽象出除法，初步理解除法的概念。再通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)和利用乘法口訣求商，進(jìn)一步理解除法的概念。
這個過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生感受從直觀操作的具體情境中抽象出除法的抽象思想，認(rèn)識用除法符號表達(dá)的具有簡潔性的符號化思想，體會用實物、圖形幫助理解除法的具有直觀性的數(shù)形結(jié)合思想，知道除法是一種重要的模型的模型思想，體會在除法中商隨著被除數(shù)、除數(shù)的變化而變化的函數(shù)思想。當(dāng)學(xué)生認(rèn)識了除法，在以后的學(xué)習(xí)中再通過學(xué)習(xí)有余數(shù)的除法、筆算除法等知識逐步加深對除法的理解，會更有利于分?jǐn)?shù)、比、百分?jǐn)?shù)等知識的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)本質(zhì)的變中有不變的思想。
小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一大特點是很多法則、性質(zhì)、公式、定律等，是通過實驗、觀察、猜想、類比、歸納等非演繹推理方法獲得的。學(xué)生經(jīng)歷和體驗了這些知識的形成過程，有利于理解所學(xué)知識及其背后的原理，有利于提煉概括數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的思維水平和思想方法方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
3、在知識的應(yīng)用過程中體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法。
小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，一方面為將來的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)，另一方面要解決問題，包括數(shù)學(xué)問題和生活中的問題，即解決問題是很重要的方面。有些教師反映，教材中問題解決的例題簡單、習(xí)題難，也就是說部分學(xué)生在教學(xué)了例題后做練習(xí)時遇到了困難，原因有兩種，一種是習(xí)題確實難了，另一種是該部分學(xué)生沒有形成遷移能力。這種遷移能力的形成，需要方法上的提煉，即所謂授人以漁。
傳統(tǒng)教材應(yīng)用題的編排結(jié)構(gòu)是與四則運(yùn)算、混合運(yùn)算相匹配?，F(xiàn)行教材問題解決的編排是以問題串的形式呈現(xiàn)，這些都是很好的做法和經(jīng)驗，是知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。但這種結(jié)構(gòu)是線性的。
如果再能夠以基本模型和問題為核心，建構(gòu)問題鏈，從而最大限度地整合豐富多彩的問題。這樣能夠把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，避免被各種問題的表面信息所迷惑。
例如：以路程、速度、時間的模型 s=vt以乘法模型為核心，可以得到另外兩個基本的變式，相應(yīng)的除法模型 v=s÷t，和t=s÷v；再分別把其中的一個量做些適當(dāng)?shù)淖兓?，會得到更多的變式模型，形成模式鏈。這樣在解決各種問題時，凡是有關(guān)路程、速度、時間的問題，都可以歸結(jié)為這個模型鏈中的問題。
4、在整理和復(fù)習(xí)、總復(fù)習(xí)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法。
每個單元后的整理和復(fù)習(xí)、全冊書后的總復(fù)習(xí)，不是簡單地復(fù)習(xí)知識、鞏固技能，更是思想方法的總結(jié)與提升。如教學(xué)乘法口訣后，進(jìn)行復(fù)習(xí)整理時，不能只說重復(fù)前面的知識，背誦、整理，還要進(jìn)一步提煉，如
5×1= 5
5×2= 10
5×3= 15
5×4= 20
5×5= 25
引導(dǎo)學(xué)生思考，每一列算式有幾個數(shù)？哪些書不變，哪些數(shù)在變？是如何變化的？你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你能用一種更簡潔的方式表達(dá)出來嗎？使學(xué)生感受正比例函數(shù)y=kx的思想。
六年級畢業(yè)復(fù)習(xí)，更是要進(jìn)行系統(tǒng)化的梳理。
5、潛移默化、明確呈現(xiàn)、長期堅持
教科書中的很多內(nèi)容都滲透了各種數(shù)學(xué)思想方法，有些是明顯的，有些是隱藏的。如：符號化思想就是明顯的，表內(nèi)乘法中體現(xiàn)函數(shù)思想就是隱藏的。教師在研讀教材、設(shè)計教學(xué)案例時，要注意體會數(shù)學(xué)思想方法的目標(biāo)，要結(jié)合每堂課的教學(xué)內(nèi)容體現(xiàn)不同的思想方法目標(biāo)，重要的可以在教學(xué)中用板書、PPT等形式加以明確呈現(xiàn)，如轉(zhuǎn)化思想、模型思想、歸納思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想等。
如何讓書越學(xué)越薄呢？最好的方法就是，適當(dāng)掌握雙基、提煉思想方法、學(xué)會運(yùn)用思想方法。
諸多思想方法：
與抽象有關(guān)的數(shù)學(xué)思想
1、抽象思想
2、符號化思想
3、分類思想
4、集合思想
5、變中有不變底線
6、有限與無限思想
與推理有關(guān)的數(shù)學(xué)思想：
1、歸納思想
2、類比思想
3、演繹思想
4、轉(zhuǎn)化思想
5、數(shù)形結(jié)合思想
6、幾何變換思想
7、極限思想
8、代換思想
與模型思想有關(guān)的數(shù)學(xué)思想：
1、模型思想
2、方程思想
3、函數(shù)思想
4、優(yōu)化思想
5、統(tǒng)計思想
6、隨機(jī)思想
與模型思想有關(guān)的數(shù)學(xué)思想：
1、模型思想
2、方程思想
3、函數(shù)思想
4、優(yōu)化思想
5、統(tǒng)計思想
6、隨機(jī)思想
其他的數(shù)學(xué)思想方法：
1、數(shù)學(xué)美思想
2、分析法和綜合法
3、反證法
4、假設(shè)法
5、窮舉法
6、列表法
7、圖示法
數(shù)學(xué)思想方法之------與抽象有關(guān)的數(shù)學(xué)思想
一、抽象思想
（一）數(shù)學(xué)抽象是對現(xiàn)實世界具有數(shù)量關(guān)系和空間形式的真實材料進(jìn)行加工、提煉出共同的本質(zhì)屬性，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)進(jìn)而形成數(shù)學(xué)理論的過程。數(shù)學(xué)抽象思想是一般化的思想方法，對于培養(yǎng)人的抽象思維能力和理性精神具有重要的意義。
1、數(shù)學(xué)抽象在數(shù)學(xué)中及教學(xué)過程中無處不在
2、數(shù)學(xué)抽象是有層次的。
（二）、抽象思想的應(yīng)用
數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。這種數(shù)量關(guān)系和空間形式是脫離了具體事物的，是抽象的，因此，抽象思想在數(shù)學(xué)中無所不在。
學(xué)生認(rèn)識數(shù)的過程伴隨著整個義務(wù)教育甚至高中階段。如：學(xué)生在學(xué)習(xí)0~10的認(rèn)識時就開始與抽象思想打交道了，雖然學(xué)生并不完全理解0~10是經(jīng)過對客觀事物的數(shù)量多少進(jìn)行抽象而得到的，但是能夠體會到一個人、一個蘋一支筆等都可以用1來表示。當(dāng)學(xué)習(xí)到11~20的認(rèn)識時，抽象的層次又提高了，實際上從10 開始就已經(jīng)發(fā)生了微妙的但是根本的變化，就是，10雖然是9加上1 ，但是它已經(jīng)沒有用新的符號表示了，而是用了前面的符號1和0，這就揭開了用十進(jìn)位制計數(shù)法表示比9更大的數(shù)?！粩嗾J(rèn)識億以上的數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、負(fù)數(shù)等。
（三）、抽象思想的教學(xué)
根據(jù)小學(xué)生的心理特點和規(guī)律，小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)往往注重操作和直觀，這樣學(xué)生容易理解抽象的數(shù)學(xué)知識。但是，教師需要注意的是，操作和直觀是教學(xué)手段而非目的，要在適當(dāng)?shù)臅r機(jī)進(jìn)行適度的數(shù)學(xué)抽象，這對發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力和認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)有益處。
在到處提倡情境的數(shù)學(xué)教育時代，抽象在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中往往容
易被忽略。在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，在注重操作、直觀的同時，在符合學(xué)生認(rèn)知特點的情況下，適時、適當(dāng)?shù)隗w現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的思想，對學(xué)生的抽象思想思維發(fā)展是有益處的。抽象思維發(fā)展了，能夠促進(jìn)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)，去解決更多的實際問題。
著名的哥尼斯堡七橋問題，很多人進(jìn)行了嘗試，都沒有成功。瑞士著名的數(shù)學(xué)家歐拉通過數(shù)學(xué)抽象的方法解決了這個著名的問題。
這個問題好像是幾何問題，但又與傳統(tǒng)的幾何研究圖形的形狀和大小沒有關(guān)系，也就是說，這個問題并不關(guān)心陸地、島嶼、橋梁的大小。因此可以把陸地、島嶼抽象成沒有大小的數(shù)學(xué)上的點，把七座橋抽象成沒有寬窄的數(shù)學(xué)上的線，這樣就把地理上的地圖抽象成了數(shù)學(xué)上的幾何圖，把原來能付不重復(fù)、不遺漏走路的問題抽象成能否一筆畫問題。
能夠一筆畫的圖形的特征分析：這樣的圖形一般有一個起點和一個終點，特殊情況當(dāng)終點也是起點時這兩點也就重合了。除了這兩點外，圖形中的其他點所連接的線都應(yīng)該是若干對一進(jìn)一出的偶數(shù)條，這樣的點稱為偶數(shù)點，否則稱為奇數(shù)點。也就是說，能夠不重復(fù)地一筆畫的圖形，只有起點和終點可以是奇點，即，能夠不重復(fù)地一筆畫的圖形中，奇點個數(shù)只能是1或2，由此得出，只有當(dāng)圖形中的奇點個數(shù)是0或2時，這樣的圖形才能夠不重復(fù)地一筆畫出。
七橋問題有4個奇點，不是一筆畫問題。人們怎么走也不可能一次不重復(fù)、不遺漏第走完七座橋。
二、符號化思想
1、符號化思想的概念。
數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)的語言，數(shù)學(xué)世界是一個符號化的世界，數(shù)學(xué)作為人們進(jìn)行表示、計算、推理和解決問題的工具，符號起到了非常重要的作用；因為數(shù)學(xué)有了符號，才使得數(shù)學(xué)具有簡明、抽象、清晰、準(zhǔn)確等特點，同時也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的普及和發(fā)展；國際通用的數(shù)學(xué)符號的使用，使數(shù)學(xué)成為國際化的語言。
課標(biāo)解讀：符號是數(shù)學(xué)的語言，也是數(shù)學(xué)的工具，更是數(shù)學(xué)的方法。
2、如何理解？
第一，理解符號所表示的數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。
第二，能用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。
第三，知道使用符號可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，是進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式，得到的結(jié)論具有一般性。
3、教學(xué)中如何落實？
（1）在概念、公示、法則、性質(zhì)等的教學(xué)中，培養(yǎng)符號意識。
（2）在解決問題的過程中，培養(yǎng)符號意識。
（3）在高年級（六下總復(fù)習(xí)）加強(qiáng)符號化思想的教學(xué)。
案例1：如果用????/???? 、 ????/????分別表示兩個異分母分?jǐn)?shù)，請表示這兩個分?jǐn)?shù)加法、乘法的計算法則。
案例2：計算， 你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ ，（ ）
三、轉(zhuǎn)化思想
（一）、認(rèn)識
如果直接應(yīng)用已有知識不能或不易解決該問題時，往往會將需要解決的問題不斷轉(zhuǎn)化形式，把它歸結(jié)為能夠解決或比較容易解決的問題，最終使問題得到解決。這種思想方法稱為轉(zhuǎn)化（化歸）思想。
（二）、原則
數(shù)學(xué)化 ：生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題
熟悉化：陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題
簡單化：復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題
直觀化：抽象問題轉(zhuǎn)化為具體問題
（三）、轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用
1、直接運(yùn)用已有知識可以順利解答的問題。
2、陌生的知識、或者不能直接運(yùn)用已有知識解答的問題，需要綜合運(yùn)用已有知識或創(chuàng)造性地解決的問題。
轉(zhuǎn)化條件 轉(zhuǎn)化思路
3、解決問題的過程，從某種意義上來說就是不斷地轉(zhuǎn)化求解的過程，應(yīng)用非常廣泛。
表格
（四）、轉(zhuǎn)化思想的教學(xué)舉例
1、化抽象為直觀
【案例】有2件不同的上衣，3條不同的褲子，2雙不同的鞋子，一共有多少種不同的穿法？
此題如果用分類法、枚舉法會比較麻煩，假如用直觀的樹狀圖，把抽象的問題直觀化，容易解決。
2、化繁為簡的策略：雞兔同籠 植樹問題
3、化實際問題為特殊的數(shù)學(xué)問題
【案例】李阿姨買了2千克蘋果和3千克香蕉用了11元，王阿姨買了同樣價格的1千克蘋果和2千克香蕉，用了6.5元。每千克蘋果和香蕉各多少錢？
2千克蘋果+3千克香蕉=11元
1千克蘋果+2千克香蕉=6.5元
2千克蘋果+4千克香蕉=13元 13-11=2元
4、化未知為已知
【案例】水果店昨天銷售的蘋果比香蕉的2倍多30千克，這兩種水果一共銷售了180千克。銷售香蕉多少千克？
算術(shù)法：幾倍多幾（少幾） 學(xué)生最容易錯
方程：設(shè)香蕉（1倍數(shù)）為x千克 。蘋果為2x+30千克
案例啟示：知識與方法
1、水果店昨天銷售的蘋果比香蕉的2倍少30千克，這兩種水果一共銷售了180千克。銷售蘋果多少千克？
2、水果店昨天銷售的香蕉比蘋果的 多30千克，這兩種水果一共銷售了180千克。銷售蘋果多少千克？
3、水果店昨天銷售的香蕉比蘋果的 少30千克，這兩種水果一共銷售了120千克。銷售蘋果多少千克？
4、水果店昨天銷售的蘋果是香蕉的2倍，銷售的梨是香蕉的3倍，這三種水果一共銷售了180千克，銷售香蕉多少千克？
高水平教學(xué) 標(biāo)準(zhǔn)化考試 人人得到不同的發(fā)展
【案例】學(xué)校買來一批小足球分給五年級各班。如果兩個班各分5個，其他每個班分4個，則多7個；如果一個班分8個，其他班每班分6個，則少5個。學(xué)校五年級有幾個班？一共買來多少個小足球？
把“兩個班各分5個，其他每個班分4個，則多7個”轉(zhuǎn)化為“每班分4個，則多9個”；把“一個班分8個，其他班每班分6個，則少5個”轉(zhuǎn)化為“每班分6個，則少3個” 。
班數(shù)：（9＋3）÷（6－4）= 6（個）
球數(shù)：4×6＋9=33（個），或6×6－3=33（個）
【案例】四位同學(xué)去種樹，第一位同學(xué)種的是其他三位同學(xué)種樹總數(shù)的一半，第二位同學(xué)種的樹是其他同學(xué)種樹總數(shù)的三分之一，第三位同學(xué)種的樹是其他同學(xué)種樹總數(shù)的四分之一，而第四位同學(xué)剛好種了13棵。問：四位同學(xué)共種樹多少棵？
題中出現(xiàn)了三個單位“1”，關(guān)鍵是抓不變量，轉(zhuǎn)化單位“1”，應(yīng)該將三個不同的單位1轉(zhuǎn)化成統(tǒng)一的單位1——四位同學(xué)種樹的總數(shù)
【案例】甲乙兩人同時從距離20千米的兩地出發(fā)，相向而行。甲每小時行5.5千米，乙每小時行4.5千米。甲帶著一只狗，狗每小時跑10千米。狗同甲一起出發(fā)，碰到乙立即掉頭往甲這邊跑，碰到甲又往乙這邊跑，直到兩人相遇。問這只狗一共跑了多少千米？
轉(zhuǎn)變思路
20÷（4.5＋5.5）×10 = 20（千米）
本書的下篇：小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)思想方法案例解讀。
分年級分冊把各知識點中應(yīng)用到的思想方法進(jìn)行了一一解讀。沒有按照思想方法分類，而是分冊編寫，主要是為了教師查找、使用方便。
數(shù)學(xué)思想方法不同于一般的概念和技能，后者一般通過短期的訓(xùn)練便能掌握，而數(shù)學(xué)思想方法需要通過在教學(xué)中長期的滲透和影響才能夠形成。古語云：泰山不讓土壤，故能成其大，河海不擇細(xì)流，故能就其深。教師應(yīng)在每節(jié)課的教學(xué)中，適時、適當(dāng)?shù)隗w現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)目標(biāo)，使學(xué)生在潛移默化中日積月累，通過提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)達(dá)到學(xué)好數(shù)學(xué)的目的。
2020.11
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