隨著新課程改革在全國各地的不斷深入，近年來在全國各省市的中考試題出現(xiàn)了許多新題型，這些設(shè)計獨特的新題型恰好體現(xiàn)新課程改革的最終目的——激發(fā)學生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識，提高學生的數(shù)學應(yīng)用能力.本文以2006年全國各省市課改實驗區(qū)的中考試題為例，探析新題型的特點及其解法，供同學們參考.

一、自編自解的開放型

例1（寧夏回族自治區(qū)課改實驗區(qū)）如圖1，點A、B、D、E在圓上，弦AE的延長線與弦BD的延長線相交于點C，給出下列三個條件：

①AB是圓的直徑；②D是BC的中點；③AB＝AC.

請在上述條件中選取兩個作為已知條件，第三個作為結(jié)論，寫出一個你認為正確的命題，并加以證明.

解：命題一：條件：AB是圓的直徑，D是BC的中點.結(jié)論：AB＝AC. 證明：連結(jié)AD ∵AB是圓的直徑 ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC， 又∵D是BC的中點，∴BD＝DC，∴AB＝AC. 命題二：條件：AB是圓的直徑，AB＝AC.結(jié)論：D是BC的中點. 命題三：條件：D是BC的中點，AB＝AC.結(jié)論：AB是圓的直徑.

評析：此題一改過去統(tǒng)一模式的定向思維為靈活多變的開放思維，這些自編自解的開放型試題，是實施數(shù)學創(chuàng)新教育的一個切入點，是新課程改革的一個新亮點.解決這類試題，必須要有扎實全面的基礎(chǔ)知識，并熟悉每個知識點的橫向與縱向的聯(lián)系，才能自編自解.

對應(yīng)訓練（昆明市課改實驗區(qū)）已知：如圖2，AB//DE，且AB＝DE. <1>請你只添加一個條件,使△ABC≌△DEF,你添加的條件是_____. <2>添加條件后，證明△ABC≌△DEF.

二、實際應(yīng)用型

例2（貴陽市課改實驗區(qū)）如圖3，這是一個供滑板愛好者使用的U型池，該U型池可以看成是一個長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供測行部分的載面是半徑為4m的半圓，其邊緣AB＝CD＝20m，點E在CD上，CE＝2m，一滑板愛好者從A點滑到E點，則他滑行的最短距離為______m（邊緣部分的厚度忽略不計，結(jié)果保留整數(shù)）.

對應(yīng)訓練（安徽省課改實驗區(qū)）汪老師要裝修自己帶閣樓的新居（如圖5為新居剖面圖），在建造客廳到閣樓的樓梯AC時，為避免上樓時墻角F碰頭，設(shè)計墻角F到樓梯的豎直距離FG為1.75m，他量得客廳高AB＝2.8m，樓梯洞口寬AF＝2m，閣樓陽臺寬EF＝3m，請你幫助汪老師解決下列問題：

三、猜想、探究型

例3（貴陽市課改實驗區(qū)）兩條平行直線上各有n個點，用這n對點按如下規(guī)則連接線段.

① 平行線之間的點在連線段時，可以有共同的端點，但不能有其他交點；

② 符合①要求的線段必須全部畫出. 

 圖6展示了當n＝1時的情況，此時圖中三角形的個數(shù)為0；

圖7展示了當n＝2時的情況，此時圖中三角形的個數(shù)為2；

<1>當n＝3時，請在圖8中畫出使三角形個數(shù)最少的圖形，此時圖中三角形的個數(shù)為___；

<2>試猜想當有n對點時，按上述規(guī)則畫出的圖形中，最少有多少個三角形？

<3>當n＝2006時，按上述規(guī)則畫出的圖形中，最少有多少個三角形？

解：<1>當n＝3時，圖8中三角形的個數(shù)為4個；

<2>當有n對點時，最少有2(n－1)個三角形；

<3>當n＝2006時，2×(2006－1) ＝4010個，即最少可以畫出4010個三角形.

評析：猜想與探究是數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程中的一種創(chuàng)造性思維，關(guān)于猜想、探究的試題已成為近年來中考命題的熱點.解決此類試題一般要進行觀察、實驗、分析、比較、聯(lián)想、類比，再進行綜合與歸納，從特殊到一般再到特殊進行思考分析.

對應(yīng)訓練（安徽省課改實驗區(qū)）老師在黑板上寫出三個算式：5²－3²＝8×2，9²－7²＝8×4，15²－3²＝8×27，

王華接著又寫了兩個具有同樣規(guī)律的算式：11²－5²＝8×12，15²－7²＝8×22，……

<1>請你再寫出兩個（不同于上面算式）具有上述規(guī)律的算式；

<2>用文字寫出反映上述算式的規(guī)律；

<3>證明這個規(guī)律的正確性.

四、圖形運動型

例4（寧夏回族自治區(qū)課改實驗區(qū)）在邊長為6cm的正方形ABCD中，點E、F、G、H分別按A→B、B→C、C→D、D→A的方向同時出發(fā)，以1cm/s的速度勻速運動，如圖9.

<2>四邊形EFGH的面積S(cm2)隨運動時間t(s)，變化的圖象大致是（  ）.  

 < 3>寫出四邊形EFGH的面積S(cm²)關(guān)于運動時間t(s)變化的函數(shù)關(guān)系式，并求運動幾秒鐘時，面積最??？最小值是多少？

解：<1>D，<2>B，<3>AE＝1×t＝t，AH＝6－t，S＝EH²＝AE²＋AH²＝t²＋(6－t) ²＝2t²－12t＋36   ∴S＝2(t－3) ²＋18  ∴當運動3秒鐘時，S有最小值為18 cm².

評析：運動觀點的思想滲透到數(shù)學之中，給數(shù)學中考命題帶來許多新的創(chuàng)意. “動態(tài)型”試題往往“動”中有“靜”，是近年來中考的“必考”題型.解決此類試題突破口是“靜”，即構(gòu)建“恒等”關(guān)系，從而解題.

對應(yīng)訓練（黃岡市課改實驗區(qū)）如圖10，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標分別為（4,0）、（4,3），動點M、N分別從點O、B同時出發(fā)，以每秒1個單位的速度運動，其中點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動，過點N作NP⊥BC，交AC于點P，連結(jié)MP，當兩動點運動了t秒時，

五、判斷說理型

例5（烏魯木齊市課改實驗區(qū)）如圖11，萌萌將菱形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°得到了菱形AB¹C¹D¹，連結(jié)BD¹、D¹B¹、D¹B、DB，她通過觀察發(fā)現(xiàn)四邊形BDB¹D¹是矩形，請你判斷她的推測是否正確，若正確請給予證明；若不正確，請說明理由.

解：萌萌的推測是正確的.證明：菱形AB1C1D1與菱形ABCDD關(guān)于菱形ABCD關(guān)于點A成中心對稱，∴AB＝AB1， AD＝AD1，∴四邊形BDB1D1是平行四邊形.又∵AB＝AD，∴DD1 ＝BB1，∴平行四邊形BDB1D1是矩形.

評析：判斷說理題是近年新興的中考試題，它要求學生先進行分析與判斷，一般對“正確與否”或“存在與否”進行定論后，再加以證明，它的特點是設(shè)下情境，讓學生“參與”其中，它能很好考查學生的分析能力、判斷能力、表達能力.其解題關(guān)鍵是判斷必須準確，否則全功盡費.

對應(yīng)訓練（沈陽市課改實驗區(qū)）如圖12，在正方形ABCD中，點E、F分別為邊BC、CD的中點，AF、DE相交于點G，則可得結(jié)論：①AF＝DE；②AF⊥DE（不需要證明）.

<1>如圖13，若點E、F不是正方形ABCD的邊BC、CD的中點，但滿足CE＝DF，則上面的結(jié)論①、②是否仍然成立？（請直接回答“成立”或“不成立”）；

<2>如圖14，若點E、F分別在正方形ABCD的邊CB、DC的延長線上，且CE＝DF，此時的結(jié)論①、②是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；

<3>如圖15，在<2>的基礎(chǔ)上，連結(jié)AE和EF，若點M、N、P、Q分別AE、EF、FD、AD的中點，請判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一種？并寫出證明過程.

六、觀察、歸納型

例6（沈陽市課改實驗區(qū)）觀察下列等式：2¹＝2；2²＝4；2³＝8；2⁴＝16；2⁵＝32；2⁶＝64；2⁷＝128，……通過觀察，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定2²⁰⁰⁶的個位數(shù)字是____.

解：依題意可得2ⁿ（n≥1）的個位數(shù)字是周期性循環(huán)出現(xiàn)的。

    ∵ 2²⁰⁰⁶＝2^4×501＋2，∴ 2²⁰⁰⁶的個位數(shù)字是4，故填4.

評析：通過觀察，發(fā)現(xiàn)數(shù)量或圖形的規(guī)律，從感性認識向理性認識飛躍，這是發(fā)現(xiàn)過程中的重要思想方法，這既是考查學生能力水平的試題，又是通過知識的遷移、類比、轉(zhuǎn)化、激發(fā)學生探索新知識的積極性和主動性.解決此類試題關(guān)鍵是根據(jù)已知題目的具體情況，細心觀察、認真分析、大膽推測、把握規(guī)律.

對應(yīng)訓練（昆明市課改實驗區(qū)）觀察圖16至圖19中小圓圈的擺放規(guī)律，并按這樣的規(guī)律繼續(xù)擺放，記n個正方形中小圓圈的個數(shù)為m，則m＝______（用含n的代數(shù)式表示）.

 七、方案最優(yōu)型

例7（貴陽市課改實驗區(qū)）某汽車租賃公司要購買轎車和面包車共10輛，其中轎車至少要購買3輛，轎車每輛7萬元，面包車每輛4萬元，公司可投入的購車款不超過55萬元.

<1>符合公司要求的購買方案，有哪幾種？請說明理由；

<2>如果每輛轎車的日租金為200元，每輛面包車的日租金為110元，假設(shè)新購買的這10輛車每日都可租出，要使這10輛車的日租金收入不低于1500元，那么應(yīng)選擇以上哪種購買方案？

解：<1>設(shè)轎車要購買X輛，那么面包車要購買（10－X）輛，由題意得：7X＋4（10－X）≤55，解得：X≤5，又X≥3，則X＝3,4,5，即采購方案有三種：方案一：轎車購買3輛，面包車購買7輛；方案二：轎車購買4輛，面包車購買6輛；方案三：轎車購買5輛，面包車購買5輛.

<2>方案一的日租金為：3×200＋7×110＝1370；方案二的日租金為：4×200＋6×110＝1460；方案三的日租金為：5×200＋5×110＝1550，為保證日租金不低于1500元，應(yīng)選擇方案三.

評析：這類試題正好體現(xiàn)“人人學有價值的數(shù)學”的課改新理念，反映數(shù)學是與學生的現(xiàn)實生活及已有的知識體驗密切相關(guān)，讓學生感受數(shù)學“學有所用”.解決這類題的關(guān)鍵是在理解題目背景的基礎(chǔ)上，尋找已知量與未知量之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立恰當?shù)臄?shù)學模型，如方程（組）模型、函數(shù)模型、不等式（組）模型等等.

對應(yīng)訓練（昆明市課改實驗區(qū)）云南省公路建設(shè)發(fā)展速度越來越快，通車總里程已位居全國第一，公路的建設(shè)促進了廣大城鄉(xiāng)客運的發(fā)展，某市擴建了市縣級公路，運輸公司根據(jù)實際需要計劃購買大、中兩型客車共10輛，大型客車每輛價格為25萬元，中型客車每輛價格為15萬元.

<1>設(shè)購買大型客車x（輛），購車總費用為y（萬元），求y與x之間的函數(shù)表達式；

<2>若購車資金為180萬元至200萬元（含180萬元和200萬元），那么有幾種購車方案？在確保交通安全的前提下，根據(jù)客流量調(diào)查，大型客車不能少于4輛，此時如何確定購車方案可使該運輸公司購車費用最少？

由上述可見，呈現(xiàn)在近年來的中考新題型設(shè)計獨特，構(gòu)思新穎，貼近生活，確實令我們耳目一新。當然新題型遠不止上述幾例，以上的例子和訓練，只是拋磚引玉之意，希望它能給同學們在中考復習中有所幫助.